高等数学第五章---定积分（§5.3定积分的计算方法）

§5.3 定积分的计算方法

定积分的计算是利用牛顿–莱布尼兹公式

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

=

F

(

x

)

∣

a

b

=

F

(

b

)

−

F

(

a

)

\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)

∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​=F(b)−F(a) 即先计算出一个原函数

F

(

x

)

F(x)

F(x)，再计算函数差值

F

(

b

)

−

F

(

a

)

F(b)-F(a)

F(b)−F(a)。如何计算原函数

F

(

x

)

F(x)

F(x) 呢？不定积分就是计算原函数

F

(

x

)

F(x)

F(x) 的方法，根据不定积分的计算方法，下面我们给出具体的定积分的计算方法。

1. 直接法

定积分的直接法类似不定积分的直接法，即通过将被积函数适当变形，然后利用不定积分基本公式求出一个原函数

F

(

x

)

F(x)

F(x)，再用牛顿–莱布尼兹公式求出定积分的值。

例1

计算下列定积分

(

1

)

∫

−

1

1

(

x

3

−

3

x

2

)

d

x

(

2

)

∫

−

2

3

(

x

−

1

)

3

d

x

(

3

)

∫

0

2

π

∣

sin

⁡

x

∣

d

x

(

4

)

∫

0

π

cos

⁡

2

x

2

d

x

(1) \int_{-1}^1\left(x^3-3 x^2\right) d x \quad (2) \int_{-2}^3(x-1)^3 d x \quad (3) \int_0^{2\pi}|\sin x| d x \quad (4) \int_0^\pi\cos^2\frac{x}{2} d x

(1)∫−11​(x3−3x2)dx(2)∫−23​(x−1)3dx(3)∫02π​∣sinx∣dx(4)∫0π​cos22x​dx

解：

(1)

∫

−

1

1

(

x

3

−

3

x

2

)

d

x

=

(

1

4

x

4

−

x

3

)

∣

−

1

1

=

(

1

4

−

1

)

−

(

1

4

+

1

)

=

−

2

\int_{-1}^1\left(x^3-3 x^2\right) d x=\left.\left(\frac{1}{4} x^4-x^3\right)\right|_{-1}^1=\left(\frac{1}{4}-1\right)-\left(\frac{1}{4}+1\right)=-2

∫−11​(x3−3x2)dx=(41​x4−x3)

​−11​=(41​−1)−(41​+1)=−2

(2) 方法一：展开计算

∫

−

2

3

(

x

−

1

)

3

d

x

=

∫

−

2

3

(

x

3

−

3

x

2

+

3

x

−

1

)

d

x

=

(

x

4

4

−

x

3

+

3

2

x

2

−

x

)

∣

−

2

3

=

(

81

4

−

27

+

27

2

−

3

)

−

(

16

4

−

(

−

8

)

+

12

2

−

(

−

2

)

)

=

(

81

−

108

+

54

−

12

4

)

−

(

4

+

8

+

6

+

2

)

=

15

4

−

20

=

−

65

4

\int_{-2}^3(x-1)^3 d x=\int_{-2}^3\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) d x=\left.\left(\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{3}{2} x^2-x\right)\right|_{-2}^3=\left(\frac{81}{4}-27+\frac{27}{2}-3\right) - \left(\frac{16}{4}-(-8)+\frac{12}{2}-(-2)\right) = \left(\frac{81-108+54-12}{4}\right) - (4+8+6+2) = \frac{15}{4}-20=-\frac{65}{4}

∫−23​(x−1)3dx=∫−23​(x3−3x2+3x−1)dx=(4x4​−x3+23​x2−x)

​−23​=(481​−27+227​−3)−(416​−(−8)+212​−(−2))=(481−108+54−12​)−(4+8+6+2)=415​−20=−465​ 方法二：凑微分（见下节，但也可用于此） 令

u

=

x

−

1

u = x-1

u=x−1,

d

u

=

d

x

du = dx

du=dx. 当

x

=

−

2

,

u

=

−

3

x=-2, u=-3

x=−2,u=−3. 当

x

=

3

,

u

=

2

x=3, u=2

x=3,u=2.

∫

−

3

2

u

3

d

u

=

u

4

4

∣

−

3

2

=

2

4

4

−

(

−

3

)

4

4

=

16

4

−

81

4

=

−

65

4

\int_{-3}^2 u^3 du = \left.\frac{u^4}{4}\right|_{-3}^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{81}{4} = \frac{-65}{4}

∫−32​u3du=4u4​

​−32​=424​−4(−3)4​=416​−481​=4−65​

(3) 由于

∣

sin

⁡

x

∣

|\sin x|

∣sinx∣ 在

[

0

,

π

]

[0, \pi]

[0,π] 上为

sin

⁡

x

\sin x

sinx，在

[

π

,

2

π

]

[\pi, 2\pi]

[π,2π] 上为

−

sin

⁡

x

-\sin x

−sinx：

∫

0

2

π

∣

sin

⁡

x

∣

d

x

=

∫

0

π

sin

⁡

x

d

x

+

∫

π

2

π

(

−

sin

⁡

x

)

d

x

=

(

−

cos

⁡

x

)

∣

0

π

+

cos

⁡

x

∣

π

2

π

=

(

−

cos

⁡

π

−

(

−

cos

⁡

0

)

)

+

(

cos

⁡

2

π

−

cos

⁡

π

)

=

(

−

(

−

1

)

−

(

−

1

)

)

+

(

1

−

(

−

1

)

)

=

(

1

+

1

)

+

(

1

+

1

)

=

2

+

2

=

4

\int_0^{2\pi}|\sin x| d x=\int_0^\pi\sin x d x+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x) d x = \left.(-\cos x)\right|_0^\pi+\left.\cos x\right|_\pi^{2\pi} = (-\cos\pi - (-\cos 0)) + (\cos 2\pi - \cos\pi) = (-(-1) - (-1)) + (1 - (-1)) = (1+1)+(1+1) = 2+2=4

∫02π​∣sinx∣dx=∫0π​sinxdx+∫π2π​(−sinx)dx=(−cosx)∣0π​+cosx∣π2π​=(−cosπ−(−cos0))+(cos2π−cosπ)=(−(−1)−(−1))+(1−(−1))=(1+1)+(1+1)=2+2=4

(4) 利用半角公式

cos

⁡

2

x

2

=

1

+

cos

⁡

x

2

\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}

cos22x​=21+cosx​：

∫

0

π

cos

⁡

2

x

2

d

x

=

∫

0

π

1

+

cos

⁡

x

2

d

x

=

1

2

(

x

+

sin

⁡

x

)

∣

0

π

=

1

2

(

(

π

+

sin

⁡

π

)

−

(

0

+

sin

⁡

0

)

)

=

1

2

(

π

+

0

−

0

)

=

π

2

\int_0^\pi\cos^2\frac{x}{2} d x=\int_0^\pi\frac{1+\cos x}{2} d x=\left.\frac{1}{2}(x+\sin x)\right|_0^\pi=\frac{1}{2}((\pi+\sin\pi)-(0+\sin 0)) = \frac{1}{2}(\pi+0-0) = \frac{\pi}{2}

∫0π​cos22x​dx=∫0π​21+cosx​dx=21​(x+sinx)

​0π​=21​((π+sinπ)−(0+sin0))=21​(π+0−0)=2π​

2. 凑微分法 (第一类换元法)

定积分的凑微分法类似不定积分的凑微分法。其核心思想是观察被积函数

f

(

x

)

f(x)

f(x) 是否可以写成

g

(

ϕ

(

x

)

)

ϕ

′

(

x

)

g(\phi(x))\phi'(x)

g(ϕ(x))ϕ′(x) 的形式，从而通过代换

u

=

ϕ

(

x

)

u=\phi(x)

u=ϕ(x) 来简化积分。 即

∫

a

b

g

(

ϕ

(

x

)

)

ϕ

′

(

x

)

d

x

=

∫

ϕ

(

a

)

ϕ

(

b

)

g

(

u

)

d

u

\int_a^b g(\phi(x))\phi'(x)dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} g(u)du

∫ab​g(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫ϕ(a)ϕ(b)​g(u)du。 在实际操作中，常将

d

x

dx

dx 与一部分被积函数凑成某个新变量的微分

d

(

ϕ

(

x

)

)

d(\phi(x))

d(ϕ(x))。

例2

计算下列定积分

(

1

)

∫

0

a

x

e

x

2

d

x

(

2

)

∫

0

π

2

cos

⁡

3

x

d

x

(

3

)

∫

−

1

1

x

(

x

2

+

1

)

2

d

x

(

4

)

∫

−

2

1

d

x

11

+

5

x

(1) \int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x \quad (2) \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x \quad (3) \int_{-1}^1\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} d x \quad (4) \int_{-2}^1\frac{d x}{11+5 x}

(1)∫0a

​​xex2dx(2)∫02π​​cos3xdx(3)∫−11​(x2+1)2x​dx(4)∫−21​11+5xdx​

解：

(1) 注意到

(

x

2

)

′

=

2

x

(x^2)' = 2x

(x2)′=2x，所以

x

d

x

=

1

2

d

(

x

2

)

x dx = \frac{1}{2} d(x^2)

xdx=21​d(x2)。 令

u

=

x

2

u=x^2

u=x2。当

x

=

0

,

u

=

0

x=0, u=0

x=0,u=0。当

x

=

a

,

u

=

a

x=\sqrt{a}, u=a

x=a

​,u=a.

∫

0

a

x

e

x

2

d

x

=

∫

0

a

e

x

2

(

x

d

x

)

=

1

2

∫

0

a

e

u

d

u

=

1

2

e

u

∣

0

a

=

1

2

(

e

a

−

e

0

)

=

1

2

(

e

a

−

1

)

\int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x = \int_0^{\sqrt{a}} e^{x^2} (x dx) = \frac{1}{2}\int_0^a e^u du = \left.\frac{1}{2} e^u\right|_0^a = \frac{1}{2}\left(e^a-e^0\right) = \frac{1}{2}\left(e^a-1\right)

∫0a

​​xex2dx=∫0a

​​ex2(xdx)=21​∫0a​eudu=21​eu

​0a​=21​(ea−e0)=21​(ea−1) 原文写法：

∫

0

a

x

e

x

2

d

x

=

∫

0

a

1

2

e

x

2

d

(

x

2

)

=

1

2

e

x

2

∣

0

a

=

1

2

(

e

a

−

1

)

\int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x=\int_0^{\sqrt{a}}\frac{1}{2} e^{x^2} d\left(x^2\right)=\left.\frac{1}{2} e^{x^2}\right|_0^{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\left(e^a-1\right)

∫0a

​​xex2dx=∫0a

​​21​ex2d(x2)=21​ex2

​0a

​​=21​(ea−1)

(2) 注意到

(

3

x

)

′

=

3

(3x)' = 3

(3x)′=3，所以

d

x

=

1

3

d

(

3

x

)

dx = \frac{1}{3} d(3x)

dx=31​d(3x)。 令

u

=

3

x

u=3x

u=3x。当

x

=

0

,

u

=

0

x=0, u=0

x=0,u=0。当

x

=

π

/

2

,

u

=

3

π

/

2

x=\pi/2, u=3\pi/2

x=π/2,u=3π/2.

∫

0

π

2

cos

⁡

3

x

d

x

=

∫

0

π

2

cos

⁡

(

3

x

)

1

3

d

(

3

x

)

=

1

3

∫

0

3

π

2

cos

⁡

u

d

u

=

1

3

sin

⁡

u

∣

0

3

π

2

=

1

3

(

sin

⁡

3

π

2

−

sin

⁡

0

)

=

1

3

(

−

1

−

0

)

=

−

1

3

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x) \frac{1}{3}d(3x) = \frac{1}{3}\int_0^{\frac{3\pi}{2}}\cos u du = \left.\frac{1}{3}\sin u\right|_0^{\frac{3\pi}{2}} = \frac{1}{3}\left(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin 0\right) = \frac{1}{3}(-1-0) = -\frac{1}{3}

∫02π​​cos3xdx=∫02π​​cos(3x)31​d(3x)=31​∫023π​​cosudu=31​sinu

​023π​​=31​(sin23π​−sin0)=31​(−1−0)=−31​ 原文写法：

∫

0

π

2

cos

⁡

3

x

d

x

=

1

3

∫

0

π

2

cos

⁡

3

x

d

(

3

x

)

=

1

3

sin

⁡

3

x

∣

0

π

2

=

1

3

(

sin

⁡

(

3

π

/

2

)

−

sin

⁡

0

)

=

1

3

(

−

1

−

0

)

=

−

1

3

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x=\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d(3 x)=\left.\frac{1}{3}\sin 3 x\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{3}(\sin(3\pi/2) - \sin 0) = \frac{1}{3}(-1-0)=-\frac{1}{3}

∫02π​​cos3xdx=31​∫02π​​cos3xd(3x)=31​sin3x

​02π​​=31​(sin(3π/2)−sin0)=31​(−1−0)=−31​ (注：原解答中

1

3

(

0

−

1

)

\frac{1}{3}(0-1)

31​(0−1) 可能是中间笔误，但结果正确。已修正为标准求值过程。)

(3) 注意到

(

x

2

+

1

)

′

=

2

x

(x^2+1)' = 2x

(x2+1)′=2x，所以

x

d

x

=

1

2

d

(

x

2

+

1

)

x dx = \frac{1}{2} d(x^2+1)

xdx=21​d(x2+1)。 令

u

=

x

2

+

1

u=x^2+1

u=x2+1。当

x

=

−

1

,

u

=

2

x=-1, u=2

x=−1,u=2。当

x

=

1

,

u

=

2

x=1, u=2

x=1,u=2.

∫

−

1

1

x

(

x

2

+

1

)

2

d

x

=

∫

−

1

1

1

(

x

2

+

1

)

2

(

x

d

x

)

=

1

2

∫

x

=

−

1

x

=

1

(

x

2

+

1

)

−

2

d

(

x

2

+

1

)

=

1

2

(

x

2

+

1

)

−

1

−

1

∣

−

1

1

=

−

1

2

(

x

2

+

1

)

∣

−

1

1

=

(

−

1

2

(

1

2

+

1

)

)

−

(

−

1

2

(

(

−

1

)

2

+

1

)

)

=

−

1

4

−

(

−

1

4

)

=

0

\begin{align*} \int_{-1}^1\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} d x &= \int_{-1}^1\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2} (x dx) \\ &=\frac{1}{2}\int_{x=-1}^{x=1}\left(x^2+1\right)^{-2} d\left(x^2+1\right) \\ &= \left.\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-1}}{-1} \right|_{-1}^1 \\ &= \left.-\frac{1}{2(x^2+1)}\right|_{-1}^1 \\ &= \left(-\frac{1}{2(1^2+1)}\right) - \left(-\frac{1}{2((-1)^2+1)}\right) \\ &= -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)=0 \end{align*}

∫−11​(x2+1)2x​dx​=∫−11​(x2+1)21​(xdx)=21​∫x=−1x=1​(x2+1)−2d(x2+1)=21​−1(x2+1)−1​

​−11​=−2(x2+1)1​

​−11​=(−2(12+1)1​)−(−2((−1)2+1)1​)=−41​−(−41​)=0​ (此题也可由奇偶性判断，被积函数为奇函数，对称区间积分为0)

(4) 注意到

(

11

+

5

x

)

′

=

5

(11+5x)' = 5

(11+5x)′=5，所以

d

x

=

1

5

d

(

11

+

5

x

)

dx = \frac{1}{5} d(11+5x)

dx=51​d(11+5x)。 令

u

=

11

+

5

x

u=11+5x

u=11+5x。当

x

=

−

2

,

u

=

11

+

5

(

−

2

)

=

1

x=-2, u=11+5(-2)=1

x=−2,u=11+5(−2)=1。当

x

=

1

,

u

=

11

+

5

(

1

)

=

16

x=1, u=11+5(1)=16

x=1,u=11+5(1)=16.

∫

−

2

1

d

x

11

+

5

x

=

1

5

∫

x

=

−

2

x

=

1

d

(

11

+

5

x

)

11

+

5

x

=

1

5

ln

⁡

∣

11

+

5

x

∣

∣

−

2

1

=

1

5

(

ln

⁡

∣

16

∣

−

ln

⁡

∣

1

∣

)

=

1

5

ln

⁡

16

=

1

5

ln

⁡

2

4

=

4

ln

⁡

2

5

\int_{-2}^1\frac{d x}{11+5 x}=\frac{1}{5}\int_{x=-2}^{x=1}\frac{d(11+5 x)}{11+5 x}=\left.\frac{1}{5}\ln|11+5 x|\right|_{-2}^1=\frac{1}{5}(\ln|16|-\ln|1|) = \frac{1}{5}\ln 16 = \frac{1}{5}\ln 2^4 = \frac{4\ln 2}{5}

∫−21​11+5xdx​=51​∫x=−2x=1​11+5xd(11+5x)​=51​ln∣11+5x∣

​−21​=51​(ln∣16∣−ln∣1∣)=51​ln16=51​ln24=54ln2​

3. 变量代换法 (第二类换元法)

定理

设

f

(

x

)

f(x)

f(x) 在

[

a

,

b

]

[a, b]

[a,b] 上连续，

x

=

φ

(

t

)

x=\varphi(t)

x=φ(t) 满足条件：

φ

(

α

)

=

a

,

φ

(

β

)

=

b

\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b

φ(α)=a,φ(β)=b，

φ

(

t

)

\varphi(t)

φ(t) 在

[

α

,

β

]

[\alpha,\beta]

[α,β]（或

[

β

,

α

]

[\beta,\alpha]

[β,α]）上具有连续导数且其值域包含

[

a

,

b

]

[a, b]

[a,b]，

则

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

=

∫

α

β

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

d

t

\int_a^b f(x) d x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

证明： 设

f

(

x

)

f(x)

f(x) 的一个原函数为

F

(

x

)

F(x)

F(x)，则

F

′

(

x

)

=

f

(

x

)

F'(x) = f(x)

F′(x)=f(x)。 根据复合函数求导法则，

[

F

(

φ

(

t

)

)

]

′

=

F

′

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

=

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

[F(\varphi(t))]' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)

[F(φ(t))]′=F′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t)。 因此，

F

(

φ

(

t

)

)

F(\varphi(t))

F(φ(t)) 是

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

f(\varphi(t))\varphi'(t)

f(φ(t))φ′(t) 的一个原函数。 由牛顿-莱布尼兹公式有：

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

=

F

(

x

)

∣

a

b

=

F

(

b

)

−

F

(

a

)

\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)

∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​=F(b)−F(a)

∫

α

β

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

d

t

=

F

(

φ

(

t

)

)

∣

α

β

=

F

(

φ

(

β

)

)

−

F

(

φ

(

α

)

)

=

F

(

b

)

−

F

(

a

)

\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t=\left.F(\varphi(t))\right|_\alpha^\beta=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)

∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t))∣αβ​=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a) 所以，

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

=

∫

α

β

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

d

t

\int_a^b f(x) d x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

注：

该定理给出定积分的换元积分法，即

∫

a

b

f

(

x

)

d

x

=

令

x

=

φ

(

t

)

∫

α

β

f

(

φ

(

t

)

)

φ

′

(

t

)

d

t

\int_a^b f(x) d x\stackrel{令\,x=\varphi(t)}{=}\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=令x=φ(t)∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt （实际应用中，我们通常是选择合适的代换

x

=

φ

(

t

)

x=\varphi(t)

x=φ(t) 或

t

=

ψ

(

x

)

t=\psi(x)

t=ψ(x) 来简化积分。）换元必换限：新的积分限

α

,

β

\alpha, \beta

α,β 分别由旧的积分限

a

,

b

a,b

a,b 通过

a

=

φ

(

α

)

a=\varphi(\alpha)

a=φ(α) 和

b

=

φ

(

β

)

b=\varphi(\beta)

b=φ(β) (或

t

=

ψ

(

x

)

t=\psi(x)

t=ψ(x) 时，

α

=

ψ

(

a

)

,

β

=

ψ

(

b

)

\alpha=\psi(a), \beta=\psi(b)

α=ψ(a),β=ψ(b)) 确定。与不定积分换元不同，定积分换元后，算出结果即可，无需将新变量换回原变量。

例3

计算下列定积分

(

1

)

∫

0

8

1

1

+

x

3

d

x

(

2

)

∫

0

2

1

x

+

1

+

(

x

+

1

)

3

d

x

(

3

)

∫

0

a

a

2

−

x

2

d

x

(

a

>

0

)

(1) \int_0^8\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x \quad (2) \int_0^2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^3}} d x \quad (3) \int_0^a\sqrt{a^2-x^2} d x \quad (a>0)

(1)∫08​1+3x

​1​dx(2)∫02​x+1

​+(x+1)3

​1​dx(3)∫0a​a2−x2

​dx(a>0)

解：

(1) 令

x

3

=

t

\sqrt[3]{x}=t

3x

​=t，则

x

=

t

3

,

d

x

=

3

t

2

d

t

x=t^3, d x=3 t^2 d t

x=t3,dx=3t2dt。 当

x

=

0

x=0

x=0 时

t

=

0

t=0

t=0；当

x

=

8

x=8

x=8 时

t

=

8

3

=

2

t=\sqrt[3]{8}=2

t=38

​=2。

∫

0

8

1

1

+

x

3

d

x

=

∫

0

2

1

1

+

t

⋅

3

t

2

d

t

=

3

∫

0

2

t

2

1

+

t

d

t

=

3

∫

0

2

t

2

−

1

+

1

1

+

t

d

t

=

3

∫

0

2

(

(

t

−

1

)

(

t

+

1

)

1

+

t

+

1

1

+

t

)

d

t

=

3

∫

0

2

(

t

−

1

+

1

1

+

t

)

d

t

=

3

(

t

2

2

−

t

+

ln

⁡

∣

1

+

t

∣

)

∣

0

2

=

3

[

(

2

2

2

−

2

+

ln

⁡

∣

1

+

2

∣

)

−

(

0

2

2

−

0

+

ln

⁡

∣

1

+

0

∣

)

]

=

3

[

(

2

−

2

+

ln

⁡

3

)

−

(

0

−

0

+

ln

⁡

1

)

]

=

3

(

ln

⁡

3

−

0

)

=

3

ln

⁡

3

\begin{align*} \int_0^8\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x &= \int_0^2\frac{1}{1+t} \cdot 3 t^2 d t \\ &= 3\int_0^2\frac{t^2}{1+t} d t \\ &= 3\int_0^2\frac{t^2-1+1}{1+t} d t \\ &= 3\int_0^2\left(\frac{(t-1)(t+1)}{1+t}+\frac{1}{1+t}\right) d t \\ &= 3\int_0^2\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right) d t \\ &= 3\left.\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln|1+t|\right)\right|_0^2 \\ &= 3\left[\left(\frac{2^2}{2}-2+\ln|1+2|\right) - \left(\frac{0^2}{2}-0+\ln|1+0|\right)\right] \\ &= 3\left[(2-2+\ln 3) - (0-0+\ln 1)\right] \\ &= 3(\ln 3 - 0) = 3\ln 3 \end{align*}

∫08​1+3x

​1​dx​=∫02​1+t1​⋅3t2dt=3∫02​1+tt2​dt=3∫02​1+tt2−1+1​dt=3∫02​(1+t(t−1)(t+1)​+1+t1​)dt=3∫02​(t−1+1+t1​)dt=3(2t2​−t+ln∣1+t∣)

​02​=3[(222​−2+ln∣1+2∣)−(202​−0+ln∣1+0∣)]=3[(2−2+ln3)−(0−0+ln1)]=3(ln3−0)=3ln3​

(2) 令

x

+

1

=

t

\sqrt{x+1}=t

x+1

​=t，则

x

+

1

=

t

2

⇒

x

=

t

2

−

1

,

d

x

=

2

t

d

t

x+1=t^2 \Rightarrow x=t^2-1, d x=2 t d t

x+1=t2⇒x=t2−1,dx=2tdt。 当

x

=

0

x=0

x=0 时

t

=

0

+

1

=

1

t=\sqrt{0+1}=1

t=0+1

​=1；当

x

=

2

x=2

x=2 时

t

=

2

+

1

=

3

t=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}

t=2+1

​=3

​。

(

x

+

1

)

3

=

(

x

+

1

)

3

=

t

3

\sqrt{(x+1)^3} = (\sqrt{x+1})^3 = t^3

(x+1)3

​=(x+1

​)3=t3。

∫

0

2

1

x

+

1

+

(

x

+

1

)

3

d

x

=

∫

1

3

1

t

+

t

3

⋅

2

t

d

t

=

2

∫

1

3

t

t

(

1

+

t

2

)

d

t

=

2

∫

1

3

1

1

+

t

2

d

t

=

2

arctan

⁡

t

∣

1

3

=

2

(

arctan

⁡

3

−

arctan

⁡

1

)

=

2

(

π

3

−

π

4

)

=

2

(

4

π

−

3

π

12

)

=

2

(

π

12

)

=

π

6

\begin{align*} \int_0^2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^3}} d x &= \int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{t+t^3}\cdot 2 t d t \\ &= 2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{t}{t(1+t^2)} d t \\ &= 2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+t^2} d t \\ &= \left.2\arctan t\right|_1^{\sqrt{3}} \\ &= 2(\arctan\sqrt{3}-\arctan 1) \\ &= 2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{4\pi-3\pi}{12}\right) = 2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{6} \end{align*}

∫02​x+1

​+(x+1)3

​1​dx​=∫13

​​t+t31​⋅2tdt=2∫13

​​t(1+t2)t​dt=2∫13

​​1+t21​dt=2arctant∣13

​​=2(arctan3

​−arctan1)=2(3π​−4π​)=2(124π−3π​)=2(12π​)=6π​​

(3) 令

x

=

a

sin

⁡

t

(

a

>

0

)

x=a\sin t \quad (a>0)

x=asint(a>0)。则

d

x

=

a

cos

⁡

t

d

t

d x=a\cos t d t

dx=acostdt。 当

x

=

0

x=0

x=0 时

a

sin

⁡

t

=

0

⇒

sin

⁡

t

=

0

⇒

t

=

0

a\sin t = 0 \Rightarrow \sin t = 0 \Rightarrow t=0

asint=0⇒sint=0⇒t=0 (选择主值区间

[

−

π

/

2

,

π

/

2

]

[-\pi/2, \pi/2]

[−π/2,π/2])。 当

x

=

a

x=a

x=a 时

a

sin

⁡

t

=

a

⇒

sin

⁡

t

=

1

⇒

t

=

π

2

a\sin t = a \Rightarrow \sin t = 1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}

asint=a⇒sint=1⇒t=2π​。

a

2

−

x

2

=

a

2

−

a

2

sin

⁡

2

t

=

a

2

(

1

−

sin

⁡

2

t

)

=

a

2

cos

⁡

2

t

=

∣

a

cos

⁡

t

∣

\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} = \sqrt{a^2(1-\sin^2 t)} = \sqrt{a^2\cos^2 t} = |a\cos t|

a2−x2

​=a2−a2sin2t

​=a2(1−sin2t)

​=a2cos2t

​=∣acost∣。 由于

t

∈

[

0

,

π

/

2

]

t \in [0, \pi/2]

t∈[0,π/2]，

a

>

0

a>0

a>0，

cos

⁡

t

≥

0

\cos t \ge 0

cost≥0，所以

∣

a

cos

⁡

t

∣

=

a

cos

⁡

t

|a\cos t| = a\cos t

∣acost∣=acost。

∫

0

a

a

2

−

x

2

d

x

=

∫

0

π

2

a

cos

⁡

t

⋅

a

cos

⁡

t

d

t

=

a

2

∫

0

π

2

cos

⁡

2

t

d

t

=

a

2

∫

0

π

2

1

+

cos

⁡

2

t

2

d

t

=

a

2

2

(

t

+

1

2

sin

⁡

2

t

)

∣

0

π

2

=

a

2

2

[

(

π

2

+

1

2

sin

⁡

π

)

−

(

0

+

1

2

sin

⁡

0

)

]

=

a

2

2

[

(

π

2

+

0

)

−

(

0

+

0

)

]

=

π

a

2

4

\begin{align*} \int_0^a\sqrt{a^2-x^2} d x &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} a\cos t \cdot a\cos t d t \\ &= a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t d t \\ &= a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2 t}{2} d t \\ &= \frac{a^2}{2}\left.\left(t+\frac{1}{2}\sin 2 t\right)\right|_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{a^2}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi\right) - \left(0+\frac{1}{2}\sin 0\right)\right] \\ &= \frac{a^2}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right) - (0+0)\right] = \frac{\pi a^2}{4} \end{align*}

∫0a​a2−x2

​dx​=∫02π​​acost⋅acostdt=a2∫02π​​cos2tdt=a2∫02π​​21+cos2t​dt=2a2​(t+21​sin2t)

​02π​​=2a2​[(2π​+21​sinπ)−(0+21​sin0)]=2a2​[(2π​+0)−(0+0)]=4πa2​​ (注：该积分的几何意义是半径为

a

a

a 的圆在第一象限的面积。)

关于换元法的注记： 通过上述例子我们发现，定积分的换元积分法和不定积分的换元积分法一样，该做代数代换就做代数代换，该做三角代换就做三角代换。不同的是：不定积分最后要把

t

t

t 换回

x

x

x，而定积分不用换回，因为积分的上下限已经换成

t

t

t 的范围了。

积分等式证明问题及奇偶性应用

所谓积分等式即含有定积分的等式。要证明积分等式，一般是利用变量代换法，有时再结合定积分的区间可加性来证明。特别地，利用函数的奇偶性可以简化在对称区间上的定积分计算。

例1

设

f

(

x

)

f(x)

f(x) 在

[

−

a

,

a

]

[-a, a]

[−a,a] 上连续，证明：

若

f

(

x

)

f(x)

f(x) 为偶函数 (即

f

(

−

x

)

=

f

(

x

)

f(-x)=f(x)

f(−x)=f(x))，则

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

2

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^a f(x) d x=2\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx；若

f

(

x

)

f(x)

f(x) 为奇函数 (即

f

(

−

x

)

=

−

f

(

x

)

f(-x)=-f(x)

f(−x)=−f(x))，则

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

0

\int_{-a}^a f(x) d x=0

∫−aa​f(x)dx=0。

分析： 观察积分等式，积分区间发生变化。先考虑定积分区间可加性：

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

+

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx 因此：

要证明

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

2

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^a f(x) d x=2\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx，即需证明

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x=\int_0^a f(x) d x

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(x)dx。要证明

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

0

\int_{-a}^a f(x) d x=0

∫−aa​f(x)dx=0，即需证明

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

−

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x=-\int_0^a f(x) d x

∫−a0​f(x)dx=−∫0a​f(x)dx。

证明： 对于积分

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x

∫−a0​f(x)dx，令

x

=

−

t

x=-t

x=−t。则

d

x

=

−

d

t

d x=-d t

dx=−dt。 当

x

=

−

a

x=-a

x=−a 时，

t

=

a

t=a

t=a；当

x

=

0

x=0

x=0 时，

t

=

0

t=0

t=0。 所以，

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

∫

a

0

f

(

−

t

)

(

−

d

t

)

=

−

∫

a

0

f

(

−

t

)

d

t

=

∫

0

a

f

(

−

t

)

d

t

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_a^0 f(-t) (-dt) = -\int_a^0 f(-t) dt = \int_0^a f(-t) dt

∫−a0​f(x)dx=∫a0​f(−t)(−dt)=−∫a0​f(−t)dt=∫0a​f(−t)dt 由于积分变量的符号不影响积分值，

∫

0

a

f

(

−

t

)

d

t

=

∫

0

a

f

(

−

x

)

d

x

\int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx

∫0a​f(−t)dt=∫0a​f(−x)dx。 因此，

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

−

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx。

若

f

(

x

)

f(x)

f(x) 为偶函数，则

f

(

−

x

)

=

f

(

x

)

f(-x)=f(x)

f(−x)=f(x)。

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

−

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a f(x) dx

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx=∫0a​f(x)dx 所以，

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

+

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

+

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

=

2

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=∫0a​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx

若

f

(

x

)

f(x)

f(x) 为奇函数，则

f

(

−

x

)

=

−

f

(

x

)

f(-x)=-f(x)

f(−x)=−f(x)。

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

=

∫

0

a

f

(

−

x

)

d

x

=

∫

0

a

(

−

f

(

x

)

)

d

x

=

−

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a (-f(x)) dx = -\int_0^a f(x) dx

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx=∫0a​(−f(x))dx=−∫0a​f(x)dx 所以，

∫

−

a

a

f

(

x

)

d

x

=

∫

−

a

0

f

(

x

)

d

x

+

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

=

−

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

+

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

=

0

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x = -\int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = 0

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=−∫0a​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=0

注： 该性质在计算定积分时可以直接利用，但要特别注意积分区间必须关于原点对称，即形式为

[

−

a

,

a

]

[-a, a]

[−a,a]。

例2

计算

∫

−

1

1

1

1

−

x

2

(

1

1

+

e

x

−

1

2

)

d

x

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) d x

∫−11​1−x2

​1​(1+ex1​−21​)dx

解： 该题的被积函数相对比较复杂，正常积分难度较大，而积分区间

[

−

1

,

1

]

[-1, 1]

[−1,1] 正好关于原点对称，因此可考虑被积函数的奇偶性。 令

h

(

x

)

=

1

1

−

x

2

(

1

1

+

e

x

−

1

2

)

h(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right)

h(x)=1−x2

​1​(1+ex1​−21​)。 其中

f

(

x

)

=

1

1

−

x

2

f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f(x)=1−x2

​1​ 是偶函数，因为

f

(

−

x

)

=

1

1

−

(

−

x

)

2

=

1

1

−

x

2

=

f

(

x

)

f(-x) = \frac{1}{\sqrt{1-(-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = f(x)

f(−x)=1−(−x)2

​1​=1−x2

​1​=f(x)。 令

g

(

x

)

=

(

1

1

+

e

x

−

1

2

)

g(x)=\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right)

g(x)=(1+ex1​−21​)。则

g

(

−

x

)

=

(

1

1

+

e

−

x

−

1

2

)

=

(

1

1

+

1

e

x

−

1

2

)

=

(

e

x

e

x

+

1

−

1

2

)

=

2

e

x

−

(

e

x

+

1

)

2

(

e

x

+

1

)

=

e

x

−

1

2

(

e

x

+

1

)

=

−

1

−

e

x

2

(

1

+

e

x

)

\begin{align*} g(-x) &= \left(\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}-\frac{1}{2}\right) \\ &= \left(\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{2e^x-(e^x+1)}{2(e^x+1)} \\ &= \frac{e^x-1}{2(e^x+1)} \\ &= -\frac{1-e^x}{2(1+e^x)} \end{align*}

g(−x)​=(1+e−x1​−21​)=(1+ex1​1​−21​)=(ex+1ex​−21​)=2(ex+1)2ex−(ex+1)​=2(ex+1)ex−1​=−2(1+ex)1−ex​​ 而

−

g

(

x

)

=

−

(

1

1

+

e

x

−

1

2

)

=

1

2

−

1

1

+

e

x

=

1

+

e

x

−

2

2

(

1

+

e

x

)

=

e

x

−

1

2

(

1

+

e

x

)

-g(x) = -\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+e^x} = \frac{1+e^x-2}{2(1+e^x)} = \frac{e^x-1}{2(1+e^x)}

−g(x)=−(1+ex1​−21​)=21​−1+ex1​=2(1+ex)1+ex−2​=2(1+ex)ex−1​ 所以

g

(

−

x

)

=

−

g

(

x

)

g(-x) = -g(x)

g(−x)=−g(x)，即

g

(

x

)

g(x)

g(x)为奇函数。 被积函数

h

(

x

)

=

f

(

x

)

g

(

x

)

h(x) = f(x)g(x)

h(x)=f(x)g(x) 是一个偶函数与一个奇函数的乘积，因此

h

(

x

)

h(x)

h(x) 是奇函数。 根据奇函数在对称区间上的积分性质，得

∫

−

1

1

1

1

−

x

2

(

1

1

+

e

x

−

1

2

)

d

x

=

0

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) d x=0

∫−11​1−x2

​1​(1+ex1​−21​)dx=0

4. 分部积分法

不定积分的分部积分法回顾

不定积分的分部积分公式为：

∫

u

(

x

)

v

′

(

x

)

d

x

=

u

(

x

)

v

(

x

)

−

∫

u

′

(

x

)

v

(

x

)

d

x

\int u(x) v^{\prime}(x) d x = u(x) v(x) - \int u^{\prime}(x) v(x) d x

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx 或者写作

∫

u

d

v

=

u

v

−

∫

v

d

u

\int u dv = uv - \int v du

∫udv=uv−∫vdu。

定积分的分部积分法

由不定积分的分部积分法可以得到定积分的分部积分法：

∫

a

b

u

(

x

)

v

′

(

x

)

d

x

=

u

(

x

)

v

(

x

)

∣

a

b

−

∫

a

b

u

′

(

x

)

v

(

x

)

d

x

\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) d x = \left.u(x) v(x)\right|_a^b - \int_a^b u^{\prime}(x) v(x) d x

∫ab​u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∣ab​−∫ab​u′(x)v(x)dx 即

∫

a

b

u

d

v

=

u

v

∣

a

b

−

∫

a

b

v

d

u

\int_a^b u dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v du

∫ab​udv=uv∣ab​−∫ab​vdu

注： 分部积分法主要用于计算两类不同函数（如幂函数与三角函数/指数函数，对数函数与幂函数等）乘积的积分。

u

(

x

)

,

v

(

x

)

u(x), v(x)

u(x),v(x) 的选取规则同不定积分，一般遵循“反对幂三指”的优先顺序选择被积函数的一部分为

u

u

u（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）。

例题

例1

计算

∫

1

5

ln

⁡

x

d

x

\int_1^5\ln x d x

∫15​lnxdx

解： 令

u

=

ln

⁡

x

u=\ln x

u=lnx,

d

v

=

d

x

dv = dx

dv=dx。则

d

u

=

1

x

d

x

du = \frac{1}{x}dx

du=x1​dx,

v

=

x

v=x

v=x。

∫

1

5

ln

⁡

x

d

x

=

[

x

ln

⁡

x

]

1

5

−

∫

1

5

x

⋅

1

x

d

x

=

(

5

ln

⁡

5

−

1

ln

⁡

1

)

−

∫

1

5

1

d

x

=

5

ln

⁡

5

−

0

−

[

x

]

1

5

=

5

ln

⁡

5

−

(

5

−

1

)

=

5

ln

⁡

5

−

4

\begin{align*} \int_1^5\ln x d x &= \left[x\ln x\right]_1^{5} - \int_1^5 x \cdot \frac{1}{x} d x \\ &= (5\ln 5 - 1\ln 1) - \int_1^5 1 d x \\ &= 5\ln 5 - 0 - \left[x\right]_1^5 \\ &= 5\ln 5 - (5-1) \\ &= 5\ln 5 - 4 \end{align*}

∫15​lnxdx​=[xlnx]15​−∫15​x⋅x1​dx=(5ln5−1ln1)−∫15​1dx=5ln5−0−[x]15​=5ln5−(5−1)=5ln5−4​ 原文写法：

∫

1

5

ln

⁡

x

d

x

=

∫

1

5

ln

⁡

x

⋅

(

x

)

′

d

x

=

x

ln

⁡

x

∣

1

5

−

∫

1

5

x

⋅

(

ln

⁡

x

)

′

d

x

=

5

ln

⁡

5

−

∫

1

5

x

⋅

1

x

d

x

=

5

ln

⁡

5

−

∫

1

5

1

d

x

=

5

ln

⁡

5

−

4

\int_1^5\ln x d x=\int_1^5\ln x\cdot (x)^{\prime} d x = \left.x\ln x\right|_1^{5}-\int_1^5 x\cdot (\ln x)^{\prime} d x = 5\ln 5-\int_1^5 x\cdot\frac{1}{x} d x = 5\ln 5-\int_1^5 1 d x = 5\ln 5-4

∫15​lnxdx=∫15​lnx⋅(x)′dx=xlnx∣15​−∫15​x⋅(lnx)′dx=5ln5−∫15​x⋅x1​dx=5ln5−∫15​1dx=5ln5−4

例2

计算

∫

0

1

x

e

x

d

x

\int_0^1 x e^x d x

∫01​xexdx

解： 令

u

=

x

u=x

u=x,

d

v

=

e

x

d

x

dv = e^x dx

dv=exdx。则

d

u

=

d

x

du = dx

du=dx,

v

=

e

x

v=e^x

v=ex。

∫

0

1

x

e

x

d

x

=

[

x

e

x

]

0

1

−

∫

0

1

e

x

d

x

=

(

1

⋅

e

1

−

0

⋅

e

0

)

−

[

e

x

]

0

1

=

e

−

(

e

1

−

e

0

)

=

e

−

(

e

−

1

)

=

1

\begin{align*} \int_0^1 x e^x d x &= \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x d x \\ &= (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - \left[e^x\right]_0^1 \\ &= e - (e^1 - e^0) \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1 \end{align*}

∫01​xexdx​=[xex]01​−∫01​exdx=(1⋅e1−0⋅e0)−[ex]01​=e−(e1−e0)=e−(e−1)=1​

例3

计算

∫

0

π

x

2

cos

⁡

x

d

x

\int_0^\pi x^2\cos x d x

∫0π​x2cosxdx

解： 第一次分部积分：令

u

=

x

2

u=x^2

u=x2,

d

v

=

cos

⁡

x

d

x

dv = \cos x dx

dv=cosxdx。则

d

u

=

2

x

d

x

du = 2x dx

du=2xdx,

v

=

sin

⁡

x

v=\sin x

v=sinx。

∫

0

π

x

2

cos

⁡

x

d

x

=

[

x

2

sin

⁡

x

]

0

π

−

∫

0

π

2

x

sin

⁡

x

d

x

=

(

π

2

sin

⁡

π

−

0

2

sin

⁡

0

)

−

2

∫

0

π

x

sin

⁡

x

d

x

=

0

−

2

∫

0

π

x

sin

⁡

x

d

x

=

−

2

∫

0

π

x

sin

⁡

x

d

x

\begin{align*} \int_0^\pi x^2\cos x d x &= \left[x^2\sin x\right]_0^\pi - \int_0^\pi 2x\sin x d x \\ &= (\pi^2\sin\pi - 0^2\sin 0) - 2\int_0^\pi x\sin x d x \\ &= 0 - 2\int_0^\pi x\sin x d x \\ &= -2\int_0^\pi x\sin x d x \end{align*}

∫0π​x2cosxdx​=[x2sinx]0π​−∫0π​2xsinxdx=(π2sinπ−02sin0)−2∫0π​xsinxdx=0−2∫0π​xsinxdx=−2∫0π​xsinxdx​ 第二次分部积分 (计算

∫

0

π

x

sin

⁡

x

d

x

\int_0^\pi x\sin x d x

∫0π​xsinxdx)：令

u

=

x

u=x

u=x,

d

v

=

sin

⁡

x

d

x

dv = \sin x dx

dv=sinxdx。则

d

u

=

d

x

du = dx

du=dx,

v

=

−

cos

⁡

x

v=-\cos x

v=−cosx。

∫

0

π

x

sin

⁡

x

d

x

=

[

x

(

−

cos

⁡

x

)

]

0

π

−

∫

0

π

(

−

cos

⁡

x

)

d

x

=

[

−

x

cos

⁡

x

]

0

π

+

∫

0

π

cos

⁡

x

d

x

=

(

−

π

cos

⁡

π

−

(

−

0

cos

⁡

0

)

)

+

[

sin

⁡

x

]

0

π

=

(

−

π

(

−

1

)

−

0

)

+

(

sin

⁡

π

−

sin

⁡

0

)

=

π

+

(

0

−

0

)

=

π

\begin{align*} \int_0^\pi x\sin x d x &= \left[x(-\cos x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) dx \\ &= \left[-x\cos x\right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x d x \\ &= (-\pi\cos\pi - (-0\cos 0)) + \left[\sin x\right]_0^\pi \\ &= (-\pi(-1) - 0) + (\sin\pi - \sin 0) \\ &= \pi + (0-0) = \pi \end{align*}

∫0π​xsinxdx​=[x(−cosx)]0π​−∫0π​(−cosx)dx=[−xcosx]0π​+∫0π​cosxdx=(−πcosπ−(−0cos0))+[sinx]0π​=(−π(−1)−0)+(sinπ−sin0)=π+(0−0)=π​ 所以，

∫

0

π

x

2

cos

⁡

x

d

x

=

−

2

(

π

)

=

−

2

π

\int_0^\pi x^2\cos x d x = -2(\pi) = -2\pi

∫0π​x2cosxdx=−2(π)=−2π (注：原文中提到“上一步计算中最后结果有误，正确结果应该是

−

2

π

+

2

sin

⁡

x

∣

0

π

=

−

2

π

-2\pi + 2\sin x\big|_0^\pi=-2\pi

−2π+2sinx

​0π​=−2π”。这里已按正确方法推导并得到

−

2

π

-2\pi

−2π。)

例4

设

f

(

x

)

=

∫

1

x

2

sin

⁡

t

t

d

t

f(x)=\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d t

f(x)=∫1x2​tsint​dt，求

∫

0

1

x

f

(

x

)

d

x

\int_0^1 x f(x) d x

∫01​xf(x)dx。

解： 该题不可能先将

f

(

x

)

f(x)

f(x) 算出来（因为

∫

sin

⁡

t

t

d

t

\int\frac{\sin t}{t} d t

∫tsint​dt 不是初等函数），再代入定积分中计算。 凡是出现变限积分函数，通常要利用其导数，而定积分中要出现导数常利用分部积分公式。

首先求

f

′

(

x

)

f'(x)

f′(x)。根据变上限积分求导法则：

f

′

(

x

)

=

(

∫

1

x

2

sin

⁡

t

t

d

t

)

′

=

sin

⁡

(

x

2

)

x

2

⋅

(

x

2

)

′

=

sin

⁡

x

2

x

2

⋅

2

x

=

2

sin

⁡

x

2

x

f^{\prime}(x)=\left(\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d t\right)^{\prime}=\frac{\sin (x^2)}{x^2}\cdot (x^2)^{\prime} = \frac{\sin x^2}{x^2}\cdot 2 x=\frac{2\sin x^2}{x}

f′(x)=(∫1x2​tsint​dt)′=x2sin(x2)​⋅(x2)′=x2sinx2​⋅2x=x2sinx2​ 现在计算

∫

0

1

x

f

(

x

)

d

x

\int_0^1 x f(x) d x

∫01​xf(x)dx。 令

u

=

f

(

x

)

u=f(x)

u=f(x),

d

v

=

x

d

x

dv = x dx

dv=xdx。则

d

u

=

f

′

(

x

)

d

x

du = f'(x)dx

du=f′(x)dx,

v

=

x

2

2

v=\frac{x^2}{2}

v=2x2​。

∫

0

1

x

f

(

x

)

d

x

=

[

f

(

x

)

⋅

x

2

2

]

0

1

−

∫

0

1

x

2

2

f

′

(

x

)

d

x

\begin{align*} \int_0^1 x f(x) d x &= \left[f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} f^{\prime}(x) d x \\ \end{align*}

∫01​xf(x)dx​=[f(x)⋅2x2​]01​−∫01​2x2​f′(x)dx​ 计算边界项：

f

(

1

)

=

∫

1

1

2

sin

⁡

t

t

d

t

=

∫

1

1

sin

⁡

t

t

d

t

=

0

f(1) = \int_1^{1^2}\frac{\sin t}{t} d t = \int_1^1\frac{\sin t}{t} d t = 0

f(1)=∫112​tsint​dt=∫11​tsint​dt=0。

f

(

0

)

=

∫

1

0

2

sin

⁡

t

t

d

t

=

∫

1

0

sin

⁡

t

t

d

t

f(0) = \int_1^{0^2}\frac{\sin t}{t} d t = \int_1^0\frac{\sin t}{t} d t

f(0)=∫102​tsint​dt=∫10​tsint​dt.

f

(

x

)

⋅

x

2

2

∣

0

1

=

f

(

1

)

⋅

1

2

2

−

lim

⁡

x

→

0

+

f

(

x

)

⋅

x

2

2

=

0

⋅

1

2

−

lim

⁡

x

→

0

+

(

∫

1

x

2

sin

⁡

t

t

d

t

⋅

x

2

2

)

\left.f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^1 = f(1)\cdot\frac{1^2}{2} - \lim_{x\to 0^+} f(x)\cdot\frac{x^2}{2} = 0 \cdot \frac{1}{2} - \lim_{x\to 0^+} \left(\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d t \cdot \frac{x^2}{2}\right)

f(x)⋅2x2​

​01​=f(1)⋅212​−limx→0+​f(x)⋅2x2​=0⋅21​−limx→0+​(∫1x2​tsint​dt⋅2x2​) 由于

∫

1

0

sin

⁡

t

t

d

t

\int_1^0 \frac{\sin t}{t} dt

∫10​tsint​dt 是一个常数 (记为

C

0

C_0

C0​)，

lim

⁡

x

→

0

+

f

(

x

)

=

C

0

\lim_{x\to 0^+} f(x) = C_0

limx→0+​f(x)=C0​。 所以

lim

⁡

x

→

0

+

f

(

x

)

⋅

x

2

2

=

C

0

⋅

0

=

0

\lim_{x\to 0^+} f(x)\cdot\frac{x^2}{2} = C_0 \cdot 0 = 0

limx→0+​f(x)⋅2x2​=C0​⋅0=0。 因此，边界项

f

(

x

)

⋅

x

2

2

∣

0

1

=

0

−

0

=

0

\left.f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^1 = 0 - 0 = 0

f(x)⋅2x2​

​01​=0−0=0。

继续计算积分项：

∫

0

1

x

f

(

x

)

d

x

=

0

−

∫

0

1

x

2

2

⋅

2

sin

⁡

x

2

x

d

x

=

−

∫

0

1

x

sin

⁡

x

2

d

x

\begin{align*} \int_0^1 x f(x) d x &= 0 - \int_0^1\frac{x^2}{2}\cdot \frac{2\sin x^2}{x} d x \\ &= -\int_0^1 x\sin x^2 d x \end{align*}

∫01​xf(x)dx​=0−∫01​2x2​⋅x2sinx2​dx=−∫01​xsinx2dx​ 对于

∫

0

1

x

sin

⁡

x

2

d

x

\int_0^1 x\sin x^2 d x

∫01​xsinx2dx，令

w

=

x

2

w=x^2

w=x2。则

d

w

=

2

x

d

x

⇒

x

d

x

=

1

2

d

w

dw = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2}dw

dw=2xdx⇒xdx=21​dw。 当

x

=

0

,

w

=

0

x=0, w=0

x=0,w=0。当

x

=

1

,

w

=

1

x=1, w=1

x=1,w=1。

−

∫

0

1

x

sin

⁡

x

2

d

x

=

−

∫

0

1

sin

⁡

(

x

2

)

(

x

d

x

)

=

−

1

2

∫

0

1

sin

⁡

w

d

w

=

−

1

2

[

−

cos

⁡

w

]

0

1

=

1

2

cos

⁡

w

∣

0

1

=

1

2

(

cos

⁡

1

−

cos

⁡

0

)

=

1

2

(

cos

⁡

1

−

1

)

\begin{align*} -\int_0^1 x\sin x^2 d x &= -\int_0^1 \sin(x^2) (x dx) \\ &= -\frac{1}{2}\int_0^1\sin w dw \\ &= -\frac{1}{2}\left[-\cos w\right]_0^1 \\ &= \left.\frac{1}{2}\cos w\right|_0^1 \\ &= \frac{1}{2}(\cos 1 - \cos 0) \\ &= \frac{1}{2}(\cos 1 - 1) \end{align*}

−∫01​xsinx2dx​=−∫01​sin(x2)(xdx)=−21​∫01​sinwdw=−21​[−cosw]01​=21​cosw

​01​=21​(cos1−cos0)=21​(cos1−1)​ 所以，

∫

0

1

x

f

(

x

)

d

x

=

1

2

(

cos

⁡

1

−

1

)

\int_0^1 x f(x) d x = \frac{1}{2}(\cos 1 - 1)

∫01​xf(x)dx=21​(cos1−1)。

总结

定积分的计算方法主要包括：

直接法：利用基本积分公式和运算法则。凑微分法 (第一类换元法)：将被积函数凑成

g

(

ϕ

(

x

)

)

ϕ

′

(

x

)

g(\phi(x))\phi'(x)

g(ϕ(x))ϕ′(x) 的形式。变量代换法 (第二类换元法)：通过

x

=

φ

(

t

)

x=\varphi(t)

x=φ(t) 或

t

=

ψ

(

x

)

t=\psi(x)

t=ψ(x) 进行变量替换，关键在于选取合适的代换并正确改变积分限。分部积分法：用于处理两类不同函数乘积的积分。

在实际计算中，还需注意：

换元必换限：进行变量代换时，积分的上下限必须相应改变。奇偶性应用：当积分区间关于原点对称时（如

[

−

a

,

a

]

[-a, a]

[−a,a]），可利用被积函数的奇偶性简化计算：奇函数积分为0，偶函数积分可简化为

2

∫

0

a

f

(

x

)

d

x

2\int_0^a f(x)dx

2∫0a​f(x)dx。变上限积分函数的处理：通常结合分部积分法和变上限积分求导法则。

灵活运用这些方法，并结合积分的性质（如区间可加性），可以有效解决各种定积分问题。